Unidad 4. Funciones de varias variables.


silabo_1145_calculoaplicado.jpg


Introducción

Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el trabajo w realizado

por una fuerza w = f.d,el volumen v de un cilindro circular recto volumen_formula.png, el área de un triángulo A = b.h, son todas funciones de dos variables. El volumen de una caja rectangular V = V (l,a,h) = l . a . h es una función de tres variables.


Funciones de dos variablesEn el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:

funciones_de_dos_variables.png

se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:



cordenadas.png


DEFINICIÓN DE UNA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f.


Gráfica de una función de dos variables

Observación : de manera análoga podemos definir funciones de tres o mas variables,f.png En todo caso el dominio será un subconjunto deIR.pngy el recorrido un subconjunto deIRn.png. Para efectos del curso nos limitaremos ha estudiar los casos n23.png


Ejemplo 1
Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones
1.fxy.png

2.gx.png


Solución
Para hallar el dominio de f recuerde que el argumento de la raiz cuadrada debe ser positivo o cero:

9.png
x.png



Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en la figura 1.

ejemplo_graficado.png
Figura 1: dominio de f(x,y)

Para hallar el dominio de g recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo :
1.png


yx.png


Lo cual corresponde al exterior de la parábola , sin incluir la parábola2.png misma, esto se muestra en la figura 2.
grafika_1.png

Figura 1: dominio de g(xam,y)
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable

Suma y resta:1.png
Producto:2.png
Cociente:3.png
La función compuesta dada por4.png se define solamente si es una función de dos variables y 6.png una función de una única variable. En este caso

Para todo par 8.png en el dominio de . Por ejemplo, la función
9.png


Puede verse como la composición de la función de dos variables
10.png

y la función de una variable1a.png
Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma 1b.png (donde c es un número real, 1c.pngson enteros positivos) se conoce como función poli nómica de dos varibles.Por ejemplo, la función
1d.png

es una función poli nómica.
Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.
Ejemplo 2
Determine el dominio de la función
1e.png

Solución
Como cada uno de los radicales debe ser no negativo, tenemos que
1f.png



Lo cual corresponde al anillo que se muestra en la figura 3.
Figura 3: dominio de f(x,y)
1g.png


Funciones de dos variables
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener una representación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable. Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y no en el plano. En lugar de dos ejes de coordenada

Gráfica de una función de dos variables

Al igual que sucedía con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen z= f (x, y), con (x, y) en el dominio de f. En la figura 12.2 se ve que la gráfica de z= f (x, y) es una superficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada (x, y) en D le corresponde un punto (x, y, z) en la superficie y, recíprocamente a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) de D.


6.jpg


DESCRIPCIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

EJEMPLO 1: ¿Cuál es el recorrido de f(x,y) = √16 - 4x^2 + y^2?

Describir la gráfica de f

Solución:

El dominio de f, deducido de su ecuación, es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que 16 – X^2 + Y^2 ≥ 0. Por tanto, D es el conjunto de puntos que pertenecen o son interiores a la elipse



El recorrido de f lo constituyen todos los valores z= f (x, y)tales que 0 ≤ z ≤√16
0 ≤ z ≤4 Recorrido de f



Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y solo si


Z = √16 - 4x^2 + y^2

















Hallar la traza de la superficie en el plano z = 2, sustituimos el valor de z en la ecuación I, con lo que se obtiene:









Que es la traza de una elipse centrada en el punto (0,0,2), con eje mayor y eje menor .






Definición (gráfica de funciones de dos variables)

La gráfica de una función es el conjunto de puntos tales que y . Es decir,




Curvas y superficies de nivel

Otra forma de visualizar una función de dos variables consiste en utilizar un campo escalar en el que se asigna al punto (x, y) el escalar z= f (x, y). Un campo escalar queda caracterizado por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor de f (x, y) es constante.



Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la superficie terrestre, con las curvas de nivel correspondiendo a las líneas de altura constante sobre el nivel del mar. Los mapas de ese tipo se llaman mapas topográficos



Un mapa de contorno traduce la variación de z respecto de x e y gracias al espaciado entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel significa que z está variando lentamente, mientras que curvas de nivel muy juntas quieren decir que z cambia muy de prisa.



Además, para proporcionar una ilusión tridimensional adecuada en un mapa de contorno, es importante elegir los valores de c espaciados de manera uniforme.



DIBUJO DE UN MAPA DE CONTORNO


EJEMPLO 1: la figura de abajo muestra el hemisferio dado por . Dibujar un mapa de contorno para esta superficie utilizando curvas de nivel correspondientes a

Solucion:

Para cada valor de c, la ecuación f (x, y) = c representa un círculo (o un punto) en el plano xy. Así, para c1 = 0 la curva de nivel es:
123.jpg 124.jpg

En un círculo de radio 8 la figura de arriba a la derecha muestra las nueve curvas de nivel para el hemisferio.

DEFINICIÓN DE SUPERFICIES DE NIVEL



Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. Si f es una función de tres variables y c una constante la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la función f. tal como se muestra en la figura siguiente.


125.jpg


Límites y continuidadEl estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto , como lo muestra la figura 1.
126.png

Figura 1.
Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de .






Definición (Disco de radio y centro P)

Un disco abierto, o simplemente un disco, de radio 0$">0$" src="file:///C:\Users\Jo0oNa!\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image003.png">y centro en es el conjunto de todos los puntos ) tales que su distancia a es menor que , es decir












Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco cerrado





Definición (Límite de una función)

Sea una función de dos variables definida en el disco abierto , excepto posiblemente en .Entonces
si y sólo si para cada 0$"> 0$" src="file:/C:\Users\Jo0oNa!\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png">existe un correspondiente0$"> 0$" src="file:/C:\Users\Jo0oNa!\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006.png">tal que




Definición (Disco de radio y centro P)

Un disco abierto, o simplemente un disco, de radio 0$">0$" src="file:///C:\Users\Jo0oNa!\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image007.png">y centro en es el conjunto de todos los puntos ) tales que su distancia a es menor que , es decir


Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco cerrado



Definición (Límite de una función)

Sea una función de dos variables definida en el disco abierto , excepto posiblemente en .Entonces

si y sólo si para cada 0$"> 0$" src="file:/C:\Users\Jo0oNa!\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image015.png">existe un correspondiente0$"> 0$" src="file:/C:\Users\Jo0oNa!\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image007.png">tal que
Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera , el valor deestá entre y , como se ilustra en la figura

127.jpg


Figura 2.
Como ya mencionamos, cuando escribimos que entendemos que el punto se aproxima al punto en cualquier dirección. Si el valor de



no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a , entonces el límite no existe



Definición (Continuidad en un punto)

Sea una función de dos variables, sea y sea un disco abierto centrado en y de radio , decimos que es continua en si

Decimos que es continua en la región si es continua en cada punto de la región.

Las derivadas parciales
Considérese la función
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
Si x, y, z varían entonces f(x, y, z) varía, y tiene sentido preguntarse, por ejemplo, por las razones de cambio y por las derivadas. Esto se hace de la siguiente forma: se considera que 2 de las variables son fijas, como constantes, y se calcula la derivada para la otra variable.
Por ejemplo: la derivada de
F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 si asumimos y y z
Constantes y x variable, es solamente 2x (pues la derivada de (y2) y (z2) es cero).
Cuando esto sucede se dice que se obtiene la derivada parcial de f(x, y, z) con respecto a x, y se denota
(Símbolos un poco diferentes a los , Dx f, o D1 f)
Entonces
= Dx f (x, y, z) = 2x.
Si se hace variar y (x y z se asumen constantes), entonces
Esta se denota
, Dy f, o D2 f.
También
= 2z,
Se denota. , Dz f, o D3 f.
128.jpg
Derivadas parciales de orden superior
La segunda derivada parcial (y en general todas las de orden superior) también se pueden calcular.
Si = 2x, se repite el procedimiento para esta expresión
= 2
y se denota por (el 2 indica que se trata de la segunda derivada parcial) o por Df..
Ahora bien, si se empieza con (manteniendo y y z constantes), luego se puede seguir calculando la derivada parcial de con relación a y. Esto se escribe
o Df o Df
Ejemplo 8.Cálculo de derivadas parciales
Dada f(x,y) = exsen y calcular
, , , ,
, ,
Solución:
® = = ex sen y (y constante y = ex).
® = = ex cos y (x constante y = cos y).
® = = = ex sen y.
® == = -ex sen y.
® = == ex cos y.
® == = ex cos y.
® = = = ex cos y.
Las diferentes propiedades que hemos estudiado en las funciones de una variable se pueden generalizar y adaptar a funciones de varias variables.
Cuando se habla de ecuaciones diferenciales parciales se refiere a ecuaciones diferenciales en las que aparecen derivadas parciales de una función de varias variables. Estas son probablemente las ecuaciones de mayor interés para la física-matemática y sus aplicaciones. Una de las más conocidas y útiles es la famosa ecuación de Laplace:
+ + = 0
que apareció por primera vez en la teoría newtoniana de la atracción gravitacional. También aparece en las teorías de elasticidad, sonido, luz, calor, electromagnetismo y del movimiento de fluidos.




Derivación de la función compuesta. Regla de la cadena

Si se tienen dos funciones y
Entonces es una función compuesta o función de función, y su derivada con respecto a x está dada por


A esta expresión se le conoce como “Regla de la Cadena”

La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivación de ciertas funciones.
Ejemplos:
1) Sean y
Obtener

Solución:
,






2) Utilizar la regla de la cadena para derivar:
Si , ,
La derivada será

, ,

129.png
1210.png
1211.png


Derivación de funciones expresadas en forma paramétrica

Dada y = f(x) , se puede representar en forma paramétrica como:



Para calcular se aplica el siguiente razonamiento:

Por la regla de la cadena:

En donde se puede obtener despejando t de la ecuación (a) . Lo cual no siempre es fácil, y a veces hasta imposible.


Otra forma de obtener es empleando la derivada de la función inversa.


Sustituyendo (d) en (c)
(e)

Para calcular la segunda derivada usamos (e)


(f)
Esto es:


(g)
Finalmente, sustituimos (g) en (f)



Ejemplo: Sea la función
Obtener

a)



b) De la segunda ecuación: t = (y+1)2
Sustituyendo. En la primera: x = 2 (y+1)4 – (y+1)2
Derivando implícitamente:




Derivación de funciones expresadas en forma implícita


Frecuentemente se presentan funciones en las cuales no es posible despejar a y o resulta difícil hacerlo. En esta situación, debe derivarse la función tal como está dada, (recordando que y es función de x y aplicando la regla de la cadena para derivar los términos donde aparece y) y resolverse para

Ejemplo: Obtener para la expresión indicada:

1.-

,



Þ






Derivada direccional

Para calcular la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevo tipo de derivada, la derivada direccional. Sea z = f (x, y) una superficie y P (x0, y0) un punto en el dominio de f. la dirección de la derivada direccional la da un vector unitario:

si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional en la dirección del sector unitario u = cos ɵi + sen ɵj es





Derivada gradiente

El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Tiene múltiples aplicaciones (como la divergencia y el rotacional)

Sea z = f (x,y) una función de x, y tal que existen fx y fy. El gradiente de f, denotado por ˅f (x,y) es el vector

˅f(x,y) =fx(x,y)i + fy (x,y)j


Divergencia

La divergencia F(x,y) = Mi + Nj es
div F (x,y) = V . F(x,y) = dM/dx + dN/dy plano
La divergencia de F(x,y,z) = Mi + Nj + Pk es
div F(x.y.z) = V . F (x,y,z) = dM/dx + dN/dy + dP/dz
Si div F = 0 se dice que F es de divergencia nula.

La notación de producto escalar utilizada para la divergencia proviene de considerar a V como un operador diferencial en el siguiente sentido:



V . F(x,y,z) = [(d/dx)i + (d/dy)j + (d/dz)k] . (Mi + Nj + Pk)

= dM/dx + dN/dy + dP/dz




Gradiente de un vector

Se llama gradiente de una función, que se representa por Grad F, al vector cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las derivadas parciales de dicha función.


En esta expresión observamos que el gradiente de la función F define un campo vectorial.

Propiedades

1.- Las componentes del vector Grad F, en cada punto, son la razón de las variaciones de la función y de la coordenada a lo largo de las direcciones de los ejes en dicho punto.2.- Su módulo, en cada punto, es el máximo valor de la variación de la función con la distancia.3.- Su dirección es la de máxima variación.4.- Su sentido es el de crecimiento de la función.
Por lo tanto el gradiente de una función escalar puntual es una función vectorial puntual.
Ejemplo:
Dada la función F (x, y, z) =, calcular el gradiente en el punto (2, 1,-1).
El gradiente de una función escalar es:


Ahora sustituimos el punto en la expresión obtenida:
2·12i+ (4·2·1-3· (-1)2) j-6·1· (-1) k
Luego Grad F = 2i + 5j + 6k.

Divergencia de un vector

La operación divergencia esta definida como:


En notación de operador, Div F es el producto punto de y F. Nótese que x F es un campo vectorial, mientras que · F: R 3 -> R, de modo que · F es un campo escalar. Leemos · F como "divergencia de F".
El significado físico completo de la divergencia se puede explicar como: Si imaginamos F como el campo de velocidad de un gas o fluido, entonces Div F representa la tasa de expansión por unidad de volumen de gas o de fluido.
Por ejemplo, si F (x, y, z) = x i + y j + z k, entonces Div F = 3; esto significa que el gas se esta expandiendo a la tasa de 3 unidades cúbicas por unidad de volumen por unidad de tiempo.
Esto es razonable, pues en este caso F es un vector radial hacia afuera, y conforme el gas se mueve hacia afuera a lo largo de las líneas de flujo, se expande. Si Div F < 0 esto significa que el gas se comprime.
El teorema siguiente no muestra la relación entre las operaciones divergencia y rotacional.
Teorema: Para cualquier campo vectorial F de clase C2,


Esto es, la divergencia de cualquier rotacional es cero.

Rotacional de un vector

La operación rotacional asocia a cada campo vectorial C1 F en R 3.
El campo vectorial Rot F definido como sigue: Sea


y hagamos


Esta fórmula es fácil de recordar si la escribimos con la operación de "operador". Introduzcamos formalmente el símbolo "del" o "nabla":


es un operador; esto es, actúa u opera sobre funciones con valores reales.
Específicamente, f, operando sobre f, esta dado por:


es el gradiente de f. Esta notación formal es bastante útil; si vemos como vector con componentes , entonces podemos tomar también el producto cruz




Así, Rot F = x F.
El teorema siguiente enuncia la relación básica entre el gradiente y el rotacional.
Teorema: Para cualquier función f de clase C2, tenemos


esto es, el rotacional de cualquier gradiente es el vector cero.





PROPIEDADES DE LA DERIVADA.
GRADIENTES Y DERIVADAS
DIRECCIONALES

CONCEPTOS BÁSICOS

En funciones de varias variables, la operación de la derivación disfruta de propiedades parecidas a las que tiene en funciones de una variable, lo que resulta de muy fácil aplicación en casos de derivadas de sumas, productos y cocientes de funciones. La operación que quizá acarrea ciertas dificultades operacionales es la derivación de composición de funciones. Para dos funciones f y g que se pueden componer entre sí, se verifica la siguiente forma matricial de la regla de la cadena:




En la práctica, sin embargo, raras veces practicamos el producto matricial, sino que aplicamos el primero y segundo caso especial de la regla de la cadena:




En el segundo caso, podemos escribir expresiones análogas para las derivadas de h respecto a y y respecto a z.


El gradiente de una función de Rn en R es el vector de sus derivadas parciales:




Las derivadas direccionales, notadas Duf, son límites de cocientes incrementales según una dirección de acercamiento u a un punto del dominio. Si tomamos la forma normalizada (vector unitario) de la dirección u, se puede mostrar que Duf(x0) = Ñf(x0)·u; y el máximo valor de la derivada direccional se obtiene en la dirección del vector gradiente.


Si se tiene una superficie definida por F(x; y; z) = 0, el gradiente ÑF es un vector normal a la superficie en cualquier punto.




Aplicaciones geométricas y físicas de los operadores vectoriales.


CAMPOS ESCALARES GRADIENTE.
Sea U un campo escalar estacionario. Nos interesa conocer con qué rapidez varía cuando nos desplazamos a lo largo de una determinada dirección (definida por una recta). Sea A el punto en el que queremos conocer la rapidez de la variación de U en la dirección de la recta definida por los puntos A y B. Al ir de A a B el campo U habrá experimentado una variación  U en un desplazamiento  r.


Luego la rapidez media en dicho trayecto será:  U/ r, y la rapidez puntual en A será evidentemente el límite de  U/ r, cuando  r tiende a cero. Este límite es la definición de DERIVADA de U en el punto A y en la dirección AB. Pero sabemos que el límite de  U cuando  r tiende a cero es dU y en un sistema de coordenadas cartesianas:
(5.1)
Que puede expresarse vectorialmente así:
(5.2)
Luego,
(5.3)
Donde el primero de los vectores del segundo miembro se denomina gradiente de U:
grad U (5.4)
y  es un vector unitario en la dirección de la recta AB:
(5.5)
Es decir, la derivada de U en la dirección AB es igual a la proyección del gradiente de U sobre esa dirección.  es el ángulo que forman grad U y la recta AB. De donde se deduce que la dirección en la que U varía más rápidamente (mayor derivada direccional) es precisamente la dirección del gradiente y su valor es precisamente el módulo de grad U.
Así como hemos deducido la expresión del gradiente (5.4) en coordenadas cartesianas, de forma similar podríamos deducir su expresión en otros sistemas de coordenadas; por ejemplo, en coordenadas cilíndricas:
grad U (5.6)
y en coordenadas esféricas:
grad U (5.7)






DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL.
Supongamos (Fig.3) un punto P dentro de un pequeño volumen  v limitado a su vez por una superficie s. En este caso el volumen es un prisma recto de aristas  x,  y y  z, paralelas a los ejes x, y, y z respectivamente. Todo ello en un espacio en el que se supone que existe un campo vectorial F. El flujo del campo F a través de la superficie s es, como hemos visto en (5.9), . Si este flujo lo dividimos


por  v, tendríamos el flujo por unidad de volumen: . Se denomina divergencia de F (div F) al límite, cuando v tiende a cero, de esta última expresión.
div F = (5.17)
Vamos a encontrar otra expresión de la divergencia en el sistema de coordenadas más frecuentemente utilizado (coordenadas cartesianas). El fujo de F a través de las 6 caras del cubo será la suma de los flujos a través de cada uno de dichas caras. Así, a través de la cara A paralela al plano yz, el flujo valdrá:
 A = Fx
y a través de la cara opuesta a la A:
 A’ = - Fx
desarrollando en serie de Taylor Fx (x+ x/2, y, z) y Fx (x- x/2, y, z) tendríamos:
 A =
 A’ =
donde con los puntos suspensivos queremos indicar los términos del desarrollo con ( x)2, ( x)3, etc ..... Pero como vamos a hacer tender a cero  v y por lo tanto  x,  y y  z, esos términos serán despreciables frente al primero. Luego
 A +  A’ =
Con un razonamiento idéntico para las caras paralelas a xz y a xy tendremos que
 B +  B’ =
 C +  C’ =
Como =  A +  A’ + B +  B’ + C +  C’, nos queda finalmente:
div F

; div F

(5.18)

Si utilizamos coordenadas cilíndricas,
div F = (5.19)
y en coordenadas esféricas:
div F = (5.20)
ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL.
Hemos definido anteriormente (5.8) el concepto de circulación de un campo vectorial F a lo largo de una trayectoria (abierta o cerrada). También hemos visto que si c es una curva cerrada:
= 0 para F conservativo y  0 para F no conservativo





Cuando un depósito lleno (una bañera, por ejemplo) está vaciándose a través de un desagüe, alrededor de éste se forman remolinos que son una imagen muy intuitiva de la circulación del vector velocidad. El desagüe sería la ‘fuente’ de la circulación, la causa de la ‘rotación’ a su alrededor, una imagen intuitiva de lo que vamos a definir en seguida como rotacional.
Supongamos un punto P0 en el espacio en el que está definido un campo vectorial F. Alrededor de este punto imaginamos una curva cerrada y plana C, que limita una superficie pequeña S que incluye al punto P0. La circulación de F alrededor de la curva C dependerá de la orientación de esta. Supongamos que hemos escogido la orientación en la que el valor de dicha circulación es máximo. "Se llama rotacional de F en el punto P0 al valor cuando  s tiende a cero de un vector perpendicular a la superficie S; sentido determinado por la regla del sacacorchos o de la mano derecha, y cuyo módulo es:". Lo escribimos así:
rot F=(5.21)
siendo an un vector unitario en la dirección perpendicular a la superficie  s. Naturalmente si F fuera un campo conservativo, el rot F será el vector nulo.


TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.
Recordemos la definición de divergencia de un campo escalar F, (5.17). Si multiplicamos los dos miembros de esta por  v, nos quedará:
(5.38)
donde  s sería la superficie que limita al volumen  v. Como hemos de hacer tender a cero  v, el primer miembro de (5.38) es el elemento  F. dv, y el segundo es el flujo de un signo (saliente por ejemplo), a través de la superficie  s. Podemos imaginar que  v es un pequeño cubo y  s el área de sus seis caras (Fig. 5).






Si sumamos todos los elementos  F. dv que llenan el volumen finito v, en el primer miembro de (5.38) tendríamos la , es decir, una integral de volumen. En el segundo miembro, el flujo saliente (luego positivo) por una cara de una celda cúbica será entrante (luego negativo) por la cara adyacente de una celda vecina. Luego sólo quedará sin anular el flujo saliente por la superficie s que limita al volumen v. Es decir que se cumple que
(5.39)
Esta relación que transforma una integral de volumen en una integral de superficie se denomina "teorema de la divergencia" y es de gran interés en Electromagnetismo.


















Bibliografia


Libro: Cálculo Tomo II
Autor: Roland E. Hostetler Robert P.
Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano

Libro: Cálculo con Geometría Analítica
Autor: Swokowski Earl W.
Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano


www.monografias.com
www.elrincondelvago.com
www.wikipedia.com